Materi gerak parabola

Definisi

Pengertian gerak parabola adalah perpaduan gerak lurus dengan kecepatan konstan dan percepatan konstan. Sesuai namanya, lintasan gerak ini berupa lintasan parabola.

Gerak Parabola

Pada materi gerak parabola fisika, arah horizontal merupakan GLB sedangkan arah vertikal merupakan GLBB dengan lintasan gerak parabola berupa lintasan parabolic. Gerak parabola terjadi jika suatu objek ditembakkan di medan gravitasi bumi dengan kecepatan tertentu dan membentuk sudut α$\alpha$ terhadap arah horisontal (sudut elevasi) dimana α≠90∘$\alpha \ne {90}^{\circ }$. Objek mendapat percepatan searah dengan medan gravitasi bumi yaitu ke arah pusat massa bumi. Akibatnya pada arah vertikal objek mengalami GLBB diperlambat/dipercepat.

Misalkan sebuah objek ditembakkan dengan sudut elevasi α$\alpha$ dengan kecepatan awal v0$v_0$ maka lintasan objek seperti gambar berikut.

Untuk mempermudah dalam mempelajari rumus gerak parabola, gerak ini akan dianalisis berdasarkan arah geraknya, yaitu arah gerak pada sumbu x$x$ dan sumbu y.$y.$

1. Gerak pada sumbu y$y$

Gerak pada arah sumbu y$y$ dipengaruhi oleh medan gravitasi sehingga mengalami percepatan sebesar g$g$. Arah g$g$selalu menuju sumbu y$y$ negatif. Kecepatan awal pada sumbu y$y$ adalah v0y=v0sinα.$v_{0y}=v_0\text{sin}\alpha .$ Sehingga kecepatan dan ketinggian objek (y$y$) setelah t$t$ detik adalah sebagai berikut.

vy=(v0y−gt)j=(v0sinα−gt)j$$v_y=\left(v_{0y}-gt\right)j=\left(v_0\text{sin}\alpha -gt\right)j$$

y=(v0yt−12gt2)j$$y=\left(v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2\right)j$$

Ketinggian Maksimum (ymaks$y_{maks}$)

Ketinggian maksimum objek pada gerak parabola terjadi pada saat objek tidak dapat bergerak naik lebih tinggi. Hal ini terjadi pada saat kecepatan arah sumbu y$y$ besarnya sama dengan nol, atau habis akibat adanya percepatan gravitasi yang arahnya ke bawah.

Berdasarkan persamaan (1), dengan memasukan nilai vy=0$v_y=0$ maka waktu yang diperlukan untuk sampai ke ketinggian maksimum (tm$t_m$) adalah

tm=v0sinαg$$t_m=\frac{v_0\text{sin}\alpha }{g}$$

Sehingga dengan memasukkan persamaan (3) ke persamaan (2) maka ketinggian maksimum (ymaks$y_{maks}$) adalah sebagai berikut.

ymaks=v20sin2α2g$$y_{maks}=\frac{v_0^2{\text{sin}}^2\alpha }{2g}$$

2. Gerak pada sumbu x$x$

Kecepatan awal pada arah sumbu x$x$ adalah vox=v0cosα.$v_{ox}=v_0\text{cos}\alpha .$ Besar kecepatan ini nilainya tetap karena tidak mendapat pengaruh percepatan gravitasi dan gaya hambat diabaikan. Sehingga kecepatan objek dan jarak setelah t$t$ detik pada arah sumbu x$x$ dapat dituliskan sebagai berikut.

vx=v0xi=v0cosαi$$v_x=v_{0x}i=v_{0}cos\alpha i$$

x=(v0cosα×t)i$$x=\left(v_0\text{cos}\alpha \times t\right)i$$

Meskipun kecepatan pada arah horisontal besarnya konstan, namun resultan vektor kecepatan objek di setiap waktu t$t$ selalu mengalami perubahan karena kecepatan pada sumbu y$y$ selalu mengalami perubahan. Resultan vektor kecepatannya dapat dituliskan sebagai berikut.

v=v2x+v2y−−−−−−√$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

Jarak Maksimum (xmaks$x_{maks}$)

Jarak maksimum pada kasus ini adalah jarak horisontal yang diukur dari titik awal objek mulai bergerak ke suatu titik yang memiliki ketinggian yang sama dengan titik awal. Karena tidak ada gaya hambat udara maka waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ke ketinggian maksimum sama dengan waktu yang dibutuhkan untuk turun sampai mencapai ketinggian yang sama dengan titik awal bergerak. Sehingga waktu untuk mencapai jarak maksimum adalah dua kali nilai tm.$t_{m.}$

tm=2v0sinαg$$t_m=\frac{2v_0\text{sin}\alpha }{g}$$

Berdasarkan persamaan (7) dan (8) maka jarak maksimum objek dengan mudah dapat dihitung.

xmaks=2v20sinα cosαg=v20sin2αg$$x_{maks}=\frac{2v_0^2\text{sin}\alpha \text{ cos}\alpha }{g}=\frac{v_0^2\text{sin}2\alpha }{g}$$

Contoh Soal Gerak Parabola dan Pembahasannya

1. Peluru ditembakkan condong ke atas dengan kecepatan awal v=1,4×10−3$v=1,4\times {10}^{-3}$ m/s dan mengenai sasaran yang jarak mendatarnya sejauh 2×105$2\times {10}^5$ m. Bila percepatan gravitasi 9,8 m/s2,${}^2,$ maka elevasinya adalah n$n$derajat, dengan n$n$ sebesar… .
   (a) 10
   (b) 30
   (c) 45
   (d) 60
   (e) 75

Jawaban : C
Jarak horizontal terjauh untuk contoh soal gerak parabola adalah
x2×105 sin 2n sin 2n2nn=v20 sin 2ng=(1,4×103)2 sin2n9,8=2×105×9,81,96×106=1=90∘=45∘$\begin{array}{rl}x& =\frac{v_0^2\text{ sin }2n}{g}\\ 2\times {10}^5& =\frac{(1,4\times {10}^3{)}^2\text{ sin}2n}{9,8}\\ \text{ sin }2n& =\frac{2\times {10}^5\times 9,8}{1,96\times {10}^6}\\ \text{ sin }2n& =1\\ 2n& ={90}^{\circ }\\ n& ={45}^{\circ }\end{array}$

2. Sebuah bola dilempar dengan sudut elevasi 60∘${}^{\circ }$ dan dengan kecepatan awal 10 m/s. Apabila percepatan gravitasi bumi 10 m/s2${}^2$ maka ketinggian dari bola setelah 123–√$\frac{1}{2}\sqrt{3}$ sekon adalah … .
   (a) 9,5 meter
   (b) 10,52 meter
   (c) 11,25 meter
   (d) 12,02 meter
   (e) 13,36 meter

Jawaban: C
Kecepatan awal benda terhadap sumbu x$x$
v0x=v0cos60∘=10⋅12=5 m/s$v_{0x}=v_{0}cos{60}^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5\text{ m/s}$
Kecepatan awal benda terhadap sumbu y$y$
v0y=v0sin60∘=10⋅123–√=53–√$v_{0y}=v_{0}sin{60}^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ m/s

Kecepatan benda saat 123–√$\frac{1}{2}\sqrt{3}$ sekon
vy=v0y−gt$v_y=v_{0y}-gt$
vy=53–√−10123–√=0$v_y=5\sqrt{3}-10\frac{1}{2}\sqrt{3}=0$

Ketinggian benda saat 123–√$\frac{1}{2}\sqrt{3}$ sekon
v2y02hh=v20y−2gh=(53–√)2−2⋅10⋅h=25⋅920=11,25 meter$\begin{array}{rl}{v}_y^2& =v_{0y}^2-2gh\\ 0^2& =(5\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 10\cdot h\\ h& =\frac{25\cdot 9}{20}\\ h& =11,25\text{ meter}\end{array}$

3. Seorang anak menendang bola menuju sebuah sasaran yang terletak pada jarak 100 m dengan sudut elevasi peluru 45∘${}^{\circ }$ dan kecepatan awal 502√$\frac{50}{\sqrt{2}}$ m/s. Maka ketinggian sasaran yang dikenai bola dari tanah adalah … .
   (a) 8 meter
   (b) 12 meter
   (c) 14 meter
   (d) 16 meter
   (e) 20 meter

Jawaban : E
Kecepatan terhadap sumbu x$x$
v0x=v0cos45∘=502–√⋅122–√=25 m/s$\begin{array}{rl}{v}_{0x}& =v_{0}cos{45}^{\circ }\\ & =\frac{50}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =25\text{ m/s}\end{array}$

Kecepatan terhadap sumbu y$y$
v0y=v0sin45∘=502–√⋅122–√=25m/s$\begin{array}{rl}{v}_{0y}& =v_0\text{sin}{45}^{\circ }\\ & =\frac{50}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =25\text{m}/\text{s}\end{array}$

Waktu yang dibutuhkan oleh bola untuk mengenai sasaran
x=v0x⋅t⟶t=xvx$x=v_{0x}\cdot t⟶t=\frac{x}{v_x}$
t=100 meter25 meter/sekon=4 sekon$t=\frac{100\text{ meter}}{25\text{ meter/sekon}}=4\text{ sekon}$

Ketinggian sasaran dari tanah
yyy=v0y⋅t−12gt2=25⋅4−12⋅10⋅42=100−80=20 meter$\begin{array}{rl}y& =v_{0y}\cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2\\ & =25\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4^2\\ y& =100-80\\ y& =20\text{ meter}\end{array}$

4. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 60 m/s dan dengan sudut elevasi 30∘.${}^{\circ }.$ Ketinggian maksimum yang dicapai adalah … .
   (a) 30 m
   (b) 45 m
   (c) 50 m
   (d) 90 m
   (e) 100 m

Jawaban : B
tp=v0sinαg=60sin30∘10=3 detik$\begin{array}{rl}{t}_p& =\frac{v_{0}sin\alpha }{g}\\ & =\frac{60sin{30}^{\circ }}{10}\\ & =3\text{ detik}\end{array}$

h=v0sinα⋅t−gt2=(60)sin30∘(3)−(10)(3)2=90−45=45 meter.